2000年全国普通高考数学试题分析报告
教育部考试中心

    2000年我国普通高考继续深化考试内容的改革,依据"有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育，有助于高校扩大办学自主权"原则，进行了进一步的改革探索。数学科在2000年《考试说明》中明确提出，数学科高考的考试目标是"发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能"。因此，2000年试题在原有的基础上继续改革创新，增加应用性和能力型的题目，体现出考能力、考素质的要求。力图通过数学科的高考，不但能考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。当今社会科学技术迅猛发展，"数字化"是一个重要的特征。数学的内容、思想、方法和语言，已经渗透到自然科学和社会科学的各个领域，构成了人的文化素质的重要组成部分。深化高考数学科考试内容的改革，融知识、能力与素质于一体，重在检测考生的综合文化素质，对于检测考生"进入高校继续学习的潜能"具有重要的意义。

    2000年高考扩大了"3+X"科目改革的试点，执行高中新课程计划的试点省、直辖市，也有了第一届毕业生参加高考。数学科的命题，充分注意到这些新情况、新特点，加强调查研究，综合分析，试题的编制努力做到实现考查目的，同时贴近考生，切合教学实际。

    一、试题特点

    1．继续保持稳定，突出考查支撑学科知识体系的知识主干内容

    初等数学的基础知识，是考生进入高等学校继续学习的基础，也是参加社会实践的必备的知识，考查考生基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一。考查既要注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，保证较高的比例并保持必要的深度。函数作为高中代数最基本、最重要的内容，在理科试卷第（1）、（4）、（5）、（6）、（17）、（19）、（21）题中，从不同侧面进行了考查，卷面分数为56分，占总分的37%。此外，第（7）、（14）、（15）、（20）、（22）等题都蕴涵着函数思想。立体几何着重考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，解析几何着重考查圆锥曲线。显示出试卷对重点知识的处理。

    数学思想和基本数学方法蕴含于数学基础知识，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯串于数学知识的学习、理解和应用过程。今年对数形结合思想的考查尤为突出，第（17）题要求用数学语言描述函数图象的变化；第（21）题要求将"图形语言"翻译成"文字语言"；第（19）题更有机地渗透着数形结合思想与分类讨论的思想。至于穷举法、换元法、配方法和待定系数法等基本数学方法，都在多个题目中得到应用。

    2. 强化知识体系，从学科整体意义上设计试题

    知识的整体性，是切实掌握数学知识的重要标志。高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题，以检验考生能否形成一个有序的网络化的知识体系，并从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题。理科第（22）题、文科第（18）题、广东文理合卷的第（18）题，是考查数列的解答题。从题目上看，考查的侧重点各不相同，实际上，这几道题都是从数列问题的本质--数列的构成规律出发，以最基本的等比数列、等差数列为基础，适当组合成某个新的数列，让考生去探求它的构成规律。不同的组合方法，能构造出不同解题深度和思维层次的试题，体现出对不同考生的要求。从这几道题本质上的联系中，可以体会到怎样去认识学科的整体意义，至于题中给出的某个具体的等比数列，只不过是为了降低试题难度。有关函数的解答题（理科第19题、文科第20题），抓住函数、方程、不等式、圆锥曲线在知识网络中的交汇点，设计出函数 ,为灵活运用知识提供了多条解题途径，数学思想方法的运用也得以充分发挥，有效地检测考生知识迁移的能力。

    3. 深化能力立意，加强探索能力的考查

    数学是一门思维的科学，数学活动是一项思维运动。数学科的考试，作为一项限时解答数学问题的专门活动，是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，同样表现为思维的过程。"以能力立意命题"，是数学的学科特点和考试目标所决定的。今年的试题，除了通过不同的数学知识载体，全面考查思维能力，运算能力和空间想象能力之外，着重从数量关系和几何形体的变化中去研究问题，从"运动"的角度来考查考生的探索能力。第（17）题，对于函数 研究参数A、ω、φ、b的变化与它的图象的变化的关系。第（18）题以立体几何重点知识为载体，着重考查空间想象能力。以几何体为依托，考查空间线面关系,在一个相对完整的解答思路指导下，设计较为完整的有一定长度的推理过程，先猜后证具有一定的探索性，给出结论，推导条件，解答有明显的层次，分步设问，综合考查三种能力。第（22）题给出条件：梯形ABCD中|AB|=2|CD|，双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点。由双曲线的对称性知梯形为等腰梯形，但梯形并不确定，即使梯形的形状确定，双曲线也还不能确定，由此可赋予一些条件确定梯形和双曲线，形成一个可解的数学问题。取有向线段 的定比分点E，并使双曲线过点E是最简捷的条件，若比值确定，则梯形与双曲线同时确定，可求双曲线的离心率（赋予AB具体数值则可求出双曲线方程），这就是文科的试题，探究比值的变化引起双曲线的离心率怎样变化，这就是理科的试题。 

第（19）题的第（Ⅱ）问，如同第（18）题的第（Ⅲ）问，给出问题的结论，去探求满足结论所需的条件；第（20）题的第（Ⅱ）问要求否定数列{Cn}是等比数列。这些试题的精心设计，旨在深化能力立意，从不同角度检测考生的探索、反驳、否定能力。

    4. 坚持数学应用，开拓展现创意识的空间

    解答数学应用问题，是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，能反映出考生的创新意识和实践能力。今年应用问题的考查，注意到现实大环境和社会生活实际两个方面。第（6）题联系我国的税法，渗透"纳税意识"的教育，对税制的分段函数进行了处理，用表格表示，在数据的设计上注意给考生的信息提示，引导考生用"估算"解决问题。第（21）题选取农作物种植成本与销售收入的问题，渗透"市场经济"意识，用图象简明表示数学模型，贴近考生的知识水平和生活现实。第（16）题实质上是"视图"问题，在工程技术中有广泛应用，它们的考查为考生展现创新意识开拓了空间。

    新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数和微积分等知识的应用性。第（17）题是典型的古典概型问题，赋予"普法教育"的新背景；第（18甲）题，运用三维向量解答空间图形的问题，将"定性"问题"定量"化；第（20）题，体现出运用导数处理最大（小）值问题的优越性，反映出新增加的数学内容在解决实际问题中重要作用。

    5. 均衡试卷结构，形成贴近教学实际的合理布局

    2000年高考的数学试卷，努力做好全卷的均衡，仔细研究试卷长度与考试时间的关系，基本题型与综合题型的匹配，能力考查深度与教学实际的相关程度等问题，形成较为合理的布局，发挥试卷的整体效应。选择题减少2个小题，分值保持不变，题型结构保持不变，选择题、填空题、解答题的分值比仍为4：1：5。

    试题的表述注意运用考生熟悉的语言和表述方式，同时采用图形、图象、表格、数学符号等多种数学语言，简明直观，有利于考生的阅读理解；试题背景的取向注意靠近教材和考生的生活实际，让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中，增强解题信心。同时，控制计算量，避免繁锁运算，一些貌似有较长运算过程的试题都有不同的解题思维层次，以保证考生有较多的时间和精力去答解答题。

    现行教材和新课程两套试卷的编制，既注意到高中教学阶段相同的培养目标，又顾及它们在知识内容和编写系统上的差异，做到整体思想保持一致，又突出各自独特的风格，以利于高中新课程的推广。

    二、对中学教学的启示

    1. 重视教材的基础作用和示范作用

    数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的"蓝本"，能力是在知识传授和学习过程得到培养和发展的。综观2000年高考数学试卷，相当数量的基本题源于教材，即使是综合题也是基础知识的组合、加工和发展，充分表现出教材的基础作用。复习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。要注重知识过程的教学，特别是数学定理、公式的推导过程和例题的求解过程，基本数学思想和数学方法都是在这个过程中形成和发展的，数学能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的。这就是教材的示范效应，要充分予以重视。

    2．重视创新意识和实践能力培养

    从以上试题特点可以看到，考查探索能力和解决实际问题的能力，是深化高考数学科内容改革的重要方面，也是社会发展的要求。数学教学中，要把培养学生的创新意识和实践能力作为基本目标，鼓励学生独立思考，增强用数学的意识，逐步学会用已有的数学知识去探索新的数学问题，学会将实际问题抽象为数学问题，并加以解决。

    3．重视阅读、理解和表述能力的培养

    语言是思维的载体，是思维的外部表现形式。熟悉数学语言，包括文字语言，符号语言，逻辑语言，图形语言和数表，是阅读、理解和表述数学问题的基础。只有具备熟练的表述能力，才能有效地进行数学交流。在教学中要重视对学生口头和书面表述能力的培养，为求表述的准确性、逻辑性、完整性和流畅性。

    4．重视良好思维品质的培养

    在数学领域里充满着辩证关系。要结合数学教学培养学生的辩证唯物主义观点，使学生能用实践与认识、对立与统一、运动与变化等辨证法思想来探究数学问题。使学习过程成为再发现、再创造的过程，激发起学习的积极性，树立学好数学的信心，形成能够克服困难，勇于追求新知的良好思维品质。

    三、对改进高考命题工作的思考

    1．进一步研究试题的稳定与创新的关系

    在深化高考内容的改革中，立足注重基础与锐意创新是着重把握的两个方面。寻求它们之间的合理组合，才能体现"三个有助于"的原则。要充分研究中学数学教材，研究数学知识的发展规律和内在联系，研究初等数学与高等数学的衔接关系。创设新的试题情景，转换题目的设问角度，防止试卷、试题的"模式化"，使考生能在新的情景中实现知识迁移，创造性地解决问题，真正考查出考生的学习潜力。

    2．充分估计考生对试题的适应程度

    数学科试卷近几年来能保持一个较为稳定的难度系数，说明试卷总体上能与考生的实际水平相适应。但在某些年份也有波动，究其原因，往往是个别小题使考生不能适应，由于一道题失分较多造成整卷成绩下降。因此要充分关注试题的每一个条件、每一个设问乃至每一个表述方法，充分估计考生的适应程度，有效地保证整卷难度的稳定。

    3．综合平衡不同类别的数学考卷

    随着高中数学新课程的推行，高考科目组设置的改革，当前高考正处在一个过渡时期，数学科试卷有"3+2"科目组，"3+X"科目组，新课程，文理合卷等多种类型。因此必须研究这些试卷的相关性，使之即能依据各自的内容和层次要求，发挥高考的选拔功能和导向作用，又能使不同试卷适应不同考生群体的情况，体现出不同的试卷特点。 (任子朝 执笔)