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北京市海淀区1999年初中毕业、升学统一考试


一. 选择题:(本题40分,每小题4分)

  在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请你将正确答案前的字母填在题后的括号内。

1. -6的绝对值是( )
  A. -6  B. 6  C. -1/6  D. 1/6

2. 9的平方根是( )
  A. 3   B. -3 C. ±3   D. 81

3. 有下面命题:

(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)钝角三角形的两个内角互补;
(3)正方形的两条对角线相等;
(4)菱形的两条对角线互相垂直。

  其中,正确的命题有( )
  A. 1个   B. 2个   C. 3个   D. 4个

4. 如图,DE是DABC的中位线,则DADE与DABC面积的比是( )
  A. 1:1  B. 1:2  C. 1:3  D. 1:4

5. 用科学记数法表示0.00032,正确的是( )
  A. 3.2×10-4  B. 3.2×10-3  C. 32×10-5  D. 0.32×10-2

6. 计算a6÷a2,结果正确的是( )
  A. a8  B. a4  C. a3  D. a12

7. 在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
  A. 等腰三角形  B. 圆  C. 梯形  D. 平行四边形

8. 在函数中,自变量x的取值范围是( )

  A. x>1  B. x≥1  C. x<1  D. x≤1

9. 对于正比例函数y=mx,当x增大时,y随x增大而增大,则m的取值范围是( )
  A. m<0  B. m≤0  C. m>0  D. m≥0

10. 已知两个圆只有一条公切线,那么这两个圆的位置关系是( )
  A. 内切  B. 外切  C. 相交  D. 外离

 

二. 填空题:(本题15分,每小题3分)

11. 点P(4,3)关于原点的对称点P'的坐标是____________。

12. 若,则锐角a=_________度。

13. 某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况,从中对20名学生每天完成作业作用时间进行了抽查,这个问题中的样本容量是___________。

14. 若正多边形的内角和是540°,那么这个多边形一定是正______________边形。

15. 若一个圆锥的母线长是5cm,底面半径是3cm,则它的侧面展开图的面积是_____cm2

 

三. (本题26分,经16、17小题各6分,第18、19小题各7分)

16. 分解因式:ax-ay+x2-y2

解:

17. 计算:

解:

18. 先化简,再求值:
  (a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3,其中a=-,b=2

解:

19. 解不等式组,并在给定的数轴上表示出解集。

解:

 

四. (本题12分,每小题6分)

20. 已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AF=EC。

求证:DE=BF。
证明:

21. 已知:如图,在DABC中,DC=90°,AB的垂直平分线交AC于D,垂足为E。若DA=30°,DE=2,求DDBC的度数和CD的长。

解:

 

五. (本题12分,每小题6分)

22. 用换元法解方程

解:

23. 列方程或方程组解应用题:

  甲、乙两组工人合作完成一项工程,合作5天后,甲组另有任务,由乙组再单独工作1天就可完成。若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天,求甲、乙两组单独完成这项工程各需要多少天。

解:

 

六. (本题12分,每小题6分)

24. 已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数的图象相交,其中有一个交点

的纵坐标为-4,求这两个函数的解析式。

解:

25. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,P是BC边上与B点不重合的动点,过点P的直线交CD的延长线于R,交AD于Q(Q与D不重合),且DRPC=45°。设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并求出自变量x的取值范围。

解:

 

七. (本题6分)

26. 已知:如图,在⊙O中,CD过圆心O,且CD^AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交⊙O于F,交AB于E。

求证:CB2=CF·CE。

证明:

 

八. (本题7分)

27. 已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0 (1)只有整数根,且关于y的一元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 (2)有两个实数根y1和y2

(1)当k为整数时,确定k的值;
(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22

解:

 

九. (本题9分)

28. 如图,在RtDABC中,DABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,以OB为半径作圆,交AC于E、F,交AB于D。若E是DF的中点,且AE:弧EF=3:1,FC=4,求DCBF的正弦值及BC的长。

解:

 

十. (本题11分)

29. 已知二次函数y=ax2+bx+C,其中a>0,b2-4a2c2=0,它的图象与x轴只有一个交点,

交点为A,与y轴交于点B,且AB=2。

(1)求二次函数解析式;
(2)当b<0时,过A的直线y=x+m与二次函数的图象交于点C,在线段BC上依次取D、E两点,若DE2=BD2+EC2,试确定DDAE的度数,并简述求解过程。

解:

北京市海淀区1999年初中毕业、升学统一试题答案
一.

1. B 2. C 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. C 10. A

二.

11. (-4,-3) 12. 60 13. 20 14. 五 15. 15π

三.

16. 分解因式:ax-ay+a2-y2

解:ax-ay+x2-y2
  =(ax-ay)+(x2-y2)    1分
  =a(x-y)+(x-y)(x+y)   4分
  =(x-y)(x+y+a)      6分

18. 先化简,再求值:
  (a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3,其中a=-,b=2.

解:(a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3
  =a3-b3+b3+b2a-a3       3分
  =ab2             5分
  当a=-,b-2时,

  原式=-×22

  =-1              7分

19. 解不等式组并在给定的数轴上表示出解集。

解:解不等式(1),得x<1      2分
  解不等式(2),得x>-2     4分
  所以不等式组的解集为
  -2<x<1            6分
    7分

四.

20.

证明:如图

  ∵在平行四边形ABCD中,
  DC=BA,DC∥AB         1分
  ∴∠DCE=∠BAF         2分
  在DDCE与DBAF中

  

  ∴DDCE≌DBAF          5分
  ∴DE=BF            6分

21. 解:如图

  DC=90°,DA=30°,DE=2
  ∴DCBA=60°          1分
  ∵DE垂直平分AB
  ∴AD=DB
  ∴DDBE=DA=30°         3分
  ∴DCBD=DCBA-DDBA=30°     4分
  ∴DCBD=DDBE
  ∴DC=DE=2           6分

五.

23.

解:设甲组单独完成此项工程需要x天,则乙组单独完成此顶工程需要(x+2)天。
  依题意,得
                         3分

  整理得 x2-9x-10=0
  解得 x1=10 x2=-1                      4分
  经检验x=10,x=-1都是原方程的根,但x=-1不合题意,舍去  5分
  当x=10时,x+2=12

答:单独完成此项工程甲组需要10天,乙组需要12天。       6分

六.

24.

解:依题意,由两个函数解析式得

  

25.

解:如图

  矩形ABCD中
  AD=BC=7,AB=DC=4,DC=90°
  ∵DRPC=45°
  ∴DR=45°=DRPC
  ∴PC=RC               1分
  ∵BP=x
  ∴PC=7-x              2分
  ∵AD∥BC

  

  ∴QD=RD=RC-DC=7-x-4=3-x     3分
  ∴AQ=AD-QD=7-(3-x)=4+x      4分

  

  ∴y=4x+8              5分
  当Q与D重合时,PC=DC=4,BP=3
  ∵P与B不重合,Q与D不重合
  ∴自变量x的取值范围是0<x<3      6分

七.

26. 证明:如图:

  连结FB                1分
  ∵CD过圆心O,且CD⊥AB
  ∴弧CA=弧CB              2分
  ∴∠CBE=∠F              3分
  ∵∠BCE公用
  ∴DCBE∽DCFB             4分

               5分

  ∴CB2=CE·CF             6分

八.

27. 解:(1)当k=0时,方程(1)化为-x-1=0,x=-1,方程有整数根    1分
  当k≠0时,方程(1)可化为(x+1)(kx+k-1)=0
  解得

  ∵方程(1)的根是整数,所以k为整数的倒数。
  ∴k是整数
  ∴k=±1. 此时Δ=(2k-1)2-4k(k-1)=1>0              3分
  但当k=1时(k-1)y2-3y+m=0不是一元二次方程
  ∴k=1舍去
  ∴k=0,k=-1                          4分

(2)当k=0时,方程(2)化为-y2-3y+m=0

  ∵方程(2)有两个实数根

  

九.

28. 如图:

解法一:连结OE,DF
  ∵E是弧DF的中点,BD是⊙O的直径
  ∴OE⊥DF,∠DFB=90°
  则可有OE∥BF                1分
  ∴AE:EF=AO:OB,且AE:AF=OE:BF
  又∵AE:EF=3:1
  ∴AO:OB=3:1,AE=3EF,OE:BF=3:4
  设OB=r,则AO=3r,          2分

  ∴AD=2r
  ∵AE·AF=AD·AB
  ∴3EF·4EF=2r·4r
                  3分

  ∵∠ABC=90°(即AB⊥BC),DB是⊙O的直径
  ∴BC是⊙O的切线
  ∴BC2=CF·CE=4(4+EF)

  在RtDABC中,由勾股定理,得

  

  (说明:只求出DCBF的正弦值给4分)

解法二:如图:

  连结DE、OE、EB

  

  

十.

29. 解法一:(1)∵y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点
  ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根
  ∴Δ=b2-4ac=0                1分
  又∵b2-4a2c2=0
  ∴4a2c2=4ac≥0
  由AB=2,得A与B不重合,又a>0
  ∴c>0
  ∴ac=1 (1)
  ∴b2=4,解得b=±2              2分

  

(2)当b<0时,由二次函数的解析式

  

  过C点作CF⊥x轴,垂足为F,可推得
  AB=AC,DBAC=90°(如图所示)               9分

  在CF上截取CM=BD,连结EM、AM,则EC2+CM2=EM2
  ∵CE2+BD2=DE2
  ∴EM=DE
  可证DABD≌DACM
  从而可证DDAE≌DMAE                   10分
  ∴∠1=∠2,∠DAE=∠EAM
  ∴∠DAM=∠BAC=90°
  ∴∠DAE=45°                      11分

解法二:(1)∵y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点
  ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根

  

  解得b=2,b=0;b=-2,b=0
  ∵b=0时,A与B两点重合
  ∴b=0舍去          2分
  以下同解法一。