2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学

    本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按能上能下要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
柱体的体积公式： ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式： ，其中c是圆柱的底面周长， 是圆柱的母线长。
球的体积公式： ，其中R是球的半径。
球的表面积公式： ，其中R是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ，
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．
1．设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =
 A．[1,2）     B．[1,2]      C．（ 2,3]      D．[2,3]
2．复数z= （ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
 A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限
3．若点（a,9）在函数 的图象上，则tan= 的值为
 A．0     B．     C．1     D．
4．曲线 在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是
 A．-9     B．-3     C．9     D．15
5．已知a，b，c∈R，命题“若 =3，则 ≥3”，的否命题是
 A．若a+b+c≠3，则 <3   
 B．若a+b+c=3，则 <3
 C．若a+b+c≠3，则 ≥3   
 D．若 ≥3，则a+b+c=3
6．若函数  （ω>0）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=
 A．   B．      C．2     D．3
7．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
 A．11    B．10     C．9     D．8．5
8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 中的 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
 A．63．6万元  B．65．5万元   C．67．7万元  D．72．0万元
9．设M（ ， ）为抛物线C： 上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则 的取值范围是
 A．（0，2）     B．[0，2]     C．（2，+∞）     D．[2，+∞）
10．函数 的图象大致是
 

11．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯
视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命
题的个数是
 A．3      B．2  
 C．1      D．0
12．设 ， ， ， 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若  （λ∈R）， （μ∈R），且 ,则称 ， 调和分割 ，  ,已知点C（c，o）,D（d，O） （c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是
 A．C可能是线段AB的中点   
 B．D可能是线段AB的中点
 C．C，D可能同时在线段AB上 
 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽
取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为          ．
14．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值
是        
15．已知双曲线 和椭圆 有相同的
焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程
为            ．
16．已知函数 = 当2＜a＜3＜b＜4时，函数 的零点         ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
   （I）求 的值；
   （II）若cosB= ，
18．（本小题满分12分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台 中， 平面 ，底面 是平行四边形， ， ， 60°
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明： ．

20．（本小题满分12分）
等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列．
 第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 ．

21．（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 ．设该容器的建造费用为 千元．
（Ⅰ）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 ．

22．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 ∙ ，
（i）求证：直线 过定点；
（ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由．

参考答案

一、选择题
1——12  ADDCABBBCCAD
二、填空题
13．16  14．68  15．   16．2
三、解答题
17．解：
   （I）由正弦定理，设
则
所以
即 ，
化简可得
又 ，
所以
因此
   （II）由 得
 
由余弦定得及 得
 
所以
又
从而
因此b=2。
18．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；
乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为
   （II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），
（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为
19．（I）证法一：
因为 平面ABCD，且 平面ABCD，
所以 ，
又因为AB=2AD， ，
在 中，由余弦定理得
 ，
所以 ，
因此 ，
又
所以
又 平面ADD1A1，
故
证法二：
因为 平面ABCD，且 平面ABCD，
所以
取AB的中点G，连接DG，
在 中，由AB=2AD得AG=AD，
又 ，所以 为等边三角形。
因此GD=GB，
故 ，
又
 
所以 平面ADD1A1，
又 平面ADD1A1，
故
   （II）连接AC，A1C1，
设 ，连接EA1
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知
A1C1//EC且A1C1=EC，
所以边四形A1ECC1为平行四边形，
因此CC1//EA1，
又因为EA 平面A1BD， 平面A1BD，
所以CC1//平面A1BD。
20．解：（I）当 时，不合题意；
当 时，当且仅当 时，符合题意；
当 时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
   （II）因为
 
所以
 
 
 
21．解：（I）设容器的容积为V，
由题意知
故
由于
因此
所以建造费用
因此
   （II）由（I）得
由于
当
令
所以
   （1）当 时，
 
所以 是函数y的极小值点，也是最小值点。
   （2）当 即 时，
当 函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当 时，建造费用最小时
当 时，建造费用最小时
22．（I）解：设直线 ，
由题意，
由方程组 得
 ，
由题意 ，
所以
设 ，
由韦达定理得
所以
由于E为线段AB的中点，
因此
此时
所以OE所在直线方程为
又由题设知D（-3，m），
令x=-3，得 ，
即mk=1，
所以
当且仅当m=k=1时上式等号成立，
此时  由 得
因此  当 时，
 取最小值2。
   （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为
将其代入椭圆C的方程，并由
解得
又 ，
由距离公式及 得
 
由
因此，直线 的方程为
所以，直线
（ii）由（i）得
若B，G关于x轴对称，
则
代入
即 ，
解得 （舍去）或
所以k=1，
此时 关于x轴对称。
又由（I）得 所以A（0，1）。
由于 的外接圆的圆心在x轴上，可设 的外接圆的圆心为（d，0），
因此
故 的外接圆的半径为 ，
所以 的外接圆方程为