2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学试题（文科）
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若 ，则
A． B． C． D．
（2）若复数 ， 为虚数单位，则
A． B． C． D．3
（3）若实数x，y满足不等式组 则3x+4y的最小值是
A．13 B．15 C．20 D．28
（4）若直线 不平行于平面 ，且 ，则
A． 内的所有直线与异面 B． 内不存在与 平行的直线
C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交
（5）在 中，角 所对的边分 ．若 ，则
A．- B． C． -1 D．1
（6）若 为实数，则 “0<ab<1”是“b< ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
A． B． C． D．
（9）已知椭圆 （a＞b＞0）与双曲线 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于 两点．若C1恰好将线段 三等分，则
A．a2 = B．a2=13 C．b2= D．b2=2
（10）设函数 ，若 为函数 的一个极值点，则下列图象不可能为 的图象是
非选择题部分 （共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
（11）设函数 ,若 ,则实数 =________________________
（12）若直线 与直线 互相垂直，则实数 =_____________________
（13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________
（14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 的值是_____________________。
（15）若平面向量α、β 满足 ，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α和β的夹角 θ的取值范围是____________________________。
（16）若实数 满足 ，则 的最大值是___________________________。
（17）若数列 中的最大项是第 项，则 =_______________。
三、解答题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题满分14分）已知函数 ， ， ， ． 的部分图像，如图所示， 、 分别为该图像的最高点和最低点，点 的坐标为 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期及 的值；
（Ⅱ）若点 的坐标为 ， ，求 的值．
（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 的首项为 ，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对 ，试比较 与 的大小．
（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， ⊥平面 ，垂足 落在线段 上．
（Ⅰ）证明： ⊥ ；
（Ⅱ）已知 ， ， ， ．求二面角 的大小．
（21）（本小题满分15分）设函数 ，
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数 ，使 对 恒成立．
注： 为自然对数的底数．
（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线 ： 上的动点。过点 做圆 的两条切线，交直线 ： 于 两点。
（Ⅰ）求 的圆心 到抛物线 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点 ，使线段 被抛物线 在点 处得切线平分，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1—5CAABD 6—10DBDCD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
11．-1 12．1 13．600 14．5 15． 16． 17．4
三、解答题：本大题共5小题，其72分。
（1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识。满分14分。
（Ⅰ）解：由题意得，
因为 的图象上，
所以
又因为 ，
所以
（Ⅱ）解：设点Q的坐标为
由题意可知 ，得
连接PQ，在 ，由余弦定理得
解得
又
（19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为 ，由题意可知
即 ，从而
因为
故通项公式
（Ⅱ）解：记
所以
从而，当 时， ；当
（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得 ，
又 平面ABC，，得
因为 ，所以 平面PAD，故
（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作 于M，连CM。
因为 平面BMC，所以AP CM。
故 为二面角B—AP—C的平面角。
在
在 ，
在 中， ，
所以
在
又
故
同理
因为
所以
即二面角B—AP—C的大小为
（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。
（Ⅰ）解：因为
所以
由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为
（Ⅱ）证明：由题意得，
由（Ⅰ）知 内单调递增，
要使 恒成立，
只要
解得
（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。
（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：
所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：
（Ⅱ）解：设点P的坐标为 ，抛物线C1在点P处的切线交直线 于点D。
再设A，B，D的横坐标分别为
过点 的抛物线C1的切线方程为：
（1）
当 时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：
可得
当 时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：
可得
所以
设切线PA，PB的斜率为 ，则
（2）
（3）
将 分别代入（1），（2），（3）得
从而
又
即
同理，
所以 是方程 的两个不相等的根，从而
因为
所以
从而
进而得
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为
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