一. 选择题:(本题40分,每小题4分)
在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请你将正确答案前的字母填在题后的括号内。
1. -6的绝对值是( )
A. -6 B. 6 C. -1/6 D. 1/6
2. 9的平方根是( )
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 81
3. 有下面命题:
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)钝角三角形的两个内角互补;
(3)正方形的两条对角线相等;
(4)菱形的两条对角线互相垂直。
其中,正确的命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图,DE是DABC的中位线,则DADE与DABC面积的比是( )
A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4
5. 用科学记数法表示0.00032,正确的是( )
A. 3.2×10-4 B. 3.2×10-3 C. 32×10-5 D. 0.32×10-2
6. 计算a6÷a2,结果正确的是( )
A. a8 B. a4 C. a3 D. a12
7. 在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. 等腰三角形 B. 圆 C. 梯形 D. 平行四边形
8. 在函数中,自变量x的取值范围是( )
A. x>1 B. x≥1 C. x<1 D. x≤1
9. 对于正比例函数y=mx,当x增大时,y随x增大而增大,则m的取值范围是( )
A. m<0 B. m≤0 C. m>0 D. m≥0
10. 已知两个圆只有一条公切线,那么这两个圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
二. 填空题:(本题15分,每小题3分)
11. 点P(4,3)关于原点的对称点P'的坐标是____________。
12. 若,则锐角a=_________度。
13. 某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况,从中对20名学生每天完成作业作用时间进行了抽查,这个问题中的样本容量是___________。
14. 若正多边形的内角和是540°,那么这个多边形一定是正______________边形。
15. 若一个圆锥的母线长是5cm,底面半径是3cm,则它的侧面展开图的面积是_____cm2。
三. (本题26分,经16、17小题各6分,第18、19小题各7分)
16. 分解因式:ax-ay+x2-y2
解:
17. 计算:
解:
18. 先化简,再求值:
(a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3,其中a=-,b=2
解:
19. 解不等式组,并在给定的数轴上表示出解集。
解:
四. (本题12分,每小题6分)
20. 已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AF=EC。
求证:DE=BF。
证明:
21. 已知:如图,在DABC中,DC=90°,AB的垂直平分线交AC于D,垂足为E。若DA=30°,DE=2,求DDBC的度数和CD的长。
解:
五. (本题12分,每小题6分)
22. 用换元法解方程 。
解:
23. 列方程或方程组解应用题:
甲、乙两组工人合作完成一项工程,合作5天后,甲组另有任务,由乙组再单独工作1天就可完成。若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天,求甲、乙两组单独完成这项工程各需要多少天。
解:
六. (本题12分,每小题6分)
24. 已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数的图象相交,其中有一个交点
的纵坐标为-4,求这两个函数的解析式。
解:
25. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,P是BC边上与B点不重合的动点,过点P的直线交CD的延长线于R,交AD于Q(Q与D不重合),且DRPC=45°。设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并求出自变量x的取值范围。
解:
七. (本题6分)
26. 已知:如图,在⊙O中,CD过圆心O,且CD^AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交⊙O于F,交AB于E。
求证:CB2=CF·CE。
证明:
八. (本题7分)
27. 已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0 (1)只有整数根,且关于y的一元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 (2)有两个实数根y1和y2。
(1)当k为整数时,确定k的值;
(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22。
解:
九. (本题9分)
28. 如图,在RtDABC中,DABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,以OB为半径作圆,交AC于E、F,交AB于D。若E是DF的中点,且AE:弧EF=3:1,FC=4,求DCBF的正弦值及BC的长。
解:
十. (本题11分)
29. 已知二次函数y=ax2+bx+C,其中a>0,b2-4a2c2=0,它的图象与x轴只有一个交点,
交点为A,与y轴交于点B,且AB=2。
(1)求二次函数解析式;
(2)当b<0时,过A的直线y=x+m与二次函数的图象交于点C,在线段BC上依次取D、E两点,若DE2=BD2+EC2,试确定DDAE的度数,并简述求解过程。
解:
北京市海淀区1999年初中毕业、升学统一试题答案
一.
1. B 2. C 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. C 10. A
二.
11. (-4,-3) 12. 60 13. 20 14. 五 15. 15π
三.
16. 分解因式:ax-ay+a2-y2
解:ax-ay+x2-y2
=(ax-ay)+(x2-y2) 1分
=a(x-y)+(x-y)(x+y) 4分
=(x-y)(x+y+a) 6分
18. 先化简,再求值:
(a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3,其中a=-,b=2.
解:(a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a3
=a3-b3+b3+b2a-a3 3分
=ab2 5分
当a=-,b-2时,
原式=-×22
=-1 7分
19. 解不等式组并在给定的数轴上表示出解集。
解:解不等式(1),得x<1 2分
解不等式(2),得x>-2 4分
所以不等式组的解集为
-2 7分
四.
20.
证明:如图
∵在平行四边形ABCD中,
DC=BA,DC∥AB 1分
∴∠DCE=∠BAF 2分
在DDCE与DBAF中
∴DDCE≌DBAF 5分
∴DE=BF 6分
21. 解:如图
DC=90°,DA=30°,DE=2
∴DCBA=60° 1分
∵DE垂直平分AB
∴AD=DB
∴DDBE=DA=30° 3分
∴DCBD=DCBA-DDBA=30° 4分
∴DCBD=DDBE
∴DC=DE=2 6分
五.
23.
解:设甲组单独完成此项工程需要x天,则乙组单独完成此顶工程需要(x+2)天。
依题意,得
3分
整理得 x2-9x-10=0
解得 x1=10 x2=-1 4分
经检验x=10,x=-1都是原方程的根,但x=-1不合题意,舍去 5分
当x=10时,x+2=12
答:单独完成此项工程甲组需要10天,乙组需要12天。 6分
六.
24.
解:依题意,由两个函数解析式得
25.
解:如图
矩形ABCD中
AD=BC=7,AB=DC=4,DC=90°
∵DRPC=45°
∴DR=45°=DRPC
∴PC=RC 1分
∵BP=x
∴PC=7-x 2分
∵AD∥BC
∴QD=RD=RC-DC=7-x-4=3-x 3分
∴AQ=AD-QD=7-(3-x)=4+x 4分
∴y=4x+8 5分
当Q与D重合时,PC=DC=4,BP=3
∵P与B不重合,Q与D不重合
∴自变量x的取值范围是0
七.
26. 证明:如图:
连结FB 1分
∵CD过圆心O,且CD⊥AB
∴弧CA=弧CB 2分
∴∠CBE=∠F 3分
∵∠BCE公用
∴DCBE∽DCFB 4分
5分
∴CB2=CE·CF 6分
八.
27. 解:(1)当k=0时,方程(1)化为-x-1=0,x=-1,方程有整数根 1分
当k≠0时,方程(1)可化为(x+1)(kx+k-1)=0
解得
∵方程(1)的根是整数,所以k为整数的倒数。
∴k是整数
∴k=±1. 此时Δ=(2k-1)2-4k(k-1)=1>0 3分
但当k=1时(k-1)y2-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0,k=-1 4分
(2)当k=0时,方程(2)化为-y2-3y+m=0
∵方程(2)有两个实数根
九.
28. 如图:
解法一:连结OE,DF
∵E是弧DF的中点,BD是⊙O的直径
∴OE⊥DF,∠DFB=90°
则可有OE∥BF 1分
∴AE:EF=AO:OB,且AE:AF=OE:BF
又∵AE:EF=3:1
∴AO:OB=3:1,AE=3EF,OE:BF=3:4
设OB=r,则AO=3r, 2分
∴AD=2r
∵AE·AF=AD·AB
∴3EF·4EF=2r·4r
3分
∵∠ABC=90°(即AB⊥BC),DB是⊙O的直径
∴BC是⊙O的切线
∴BC2=CF·CE=4(4+EF)
在RtDABC中,由勾股定理,得
(说明:只求出DCBF的正弦值给4分)
解法二:如图:
连结DE、OE、EB
十.
29. 解法一:(1)∵y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2-4ac=0 1分
又∵b2-4a2c2=0
∴4a2c2=4ac≥0
由AB=2,得A与B不重合,又a>0
∴c>0
∴ac=1 (1)
∴b2=4,解得b=±2 2分
(2)当b<0时,由二次函数的解析式
过C点作CF⊥x轴,垂足为F,可推得
AB=AC,DBAC=90°(如图所示) 9分
在CF上截取CM=BD,连结EM、AM,则EC2+CM2=EM2
∵CE2+BD2=DE2
∴EM=DE
可证DABD≌DACM
从而可证DDAE≌DMAE 10分
∴∠1=∠2,∠DAE=∠EAM
∴∠DAM=∠BAC=90°
∴∠DAE=45° 11分
解法二:(1)∵y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根
解得b=2,b=0;b=-2,b=0
∵b=0时,A与B两点重合
∴b=0舍去 2分
以下同解法一。